Matemática 1ª Série E.M. Conclusão da apostila do 3° BIM

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EXERCÍCIO 1

Basta sar a lógica de que a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é 180° , montar e resolver a equação ---------------no final : X = 40

EXERCÍCIO 2 –

No triangulo há dois ângulos internos que são conhecidos,portanto encontra-se o terceiro com muita facilidade pela mesma lógica da questão anterior 35 + 88 + X = 180, o resultado desta equação é o resultado do ultimo angulo interno da triângulo em questão. Agora, devemos calcular o angulo externo que é suplemento deste. (Suplemento – quantidade de graus necessária para que se complete 180°) ex.: 30° suplemento 150°. Usando essa lógica, chega-se à B = 57°

Exercício 3

a) - Como a soma dos ângulos internos é 180° e além do ângulo reto temos outros dois ângulos iguais, visto que os lados são iguais, pela definição de triângulo isósceles (ISO, que permanece, que não muda) – triângulos Isósceles são aqueles que possuem dois lados e dois anglos iguais. Diante disso podemos escrever:

X + X + 90 = 180 é só resolver e tudo certo. - ------------- 90° , 45° e 45°

b) – Como já comentamos as medidas dos dois catetos são iguais apesar de desconhecidas, portanto, podem e devem ser representadas por uma mesma letra (incógnita) o terceiro lado, isto é a hipotenusa já é dada no problema, então bata aplicar o velho PIT.
Conclusão: -------------------------------------------- catetos = 4 cm


Exercício 5

a) - Primeiramente tome os dados e escreva duas equações

Equação I ---------------------------X = ¾ Y e
Equação II --------------------------Y = 4/5 Z

Substitua a equação II, na equação I e você chegará à ------------------------ X = 3/5 Z

Assim passamos a ter X e Y em função de Z, como sabemos que a soma dos ângulos é igual a 180° podemos escrever-------- X + Y + Z = 180 agora é só substituir X e Y , z fica Z mesmo e bom trabalho no final chega-se à Z = 75° o que permite-nos calcular tranqüilamente X e Y, boa sorte

b) – Dica: a medida de qualquer ângulo externo a um dado ângulo de qualquer triângulo é sempre o seu suplemento.

PÁGINA 40 – PARA VOCÊ RESOLVER

EXERCÍCIO 1

a) (V) Pois os Equiláteros têm 3 lados iguais e para ser Isósceles basta ter dois lados iguis, por lógica, quem tem três tem dois. É impossível ter três sem ter dois embora seja possível ter dois sem ter três. Sendo assim é TODO TRIÂNGULO EQUILÁTERO É ISÓCELES, MAS NEM TODO TRIANGUKLO ISÓCELES É EQUILÁTERO.

a) (F) – explicado no item a

c) (F) – Triângulos Acutângulos são aqueles que têm todos os ângulos agudos. Triângulos Isósceles, como já foi falado são aqueles que possuem pelo menos dois lados iguais, mas para ter dois lados iguais, não é necessário ter todos os ângulos agudos.

d) (V) é impossível ter os três lados iguais sem possuir três ângulos agudos, por uma razão simples: SE A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE QUALQUER TRIÂNGUO É 180, SE EM UM TRIANGULO TER LADOS IGUAIS CORRESPONDE A TER ÂNGULOS IGUIS, ENTÃO PARA TER TRES LADOS IGUAIS, É NECESSÁRIO TER TRÊS ÂNGULOS IGUAIS : X + X + X = 180° O QUE EQUIVALE A X= 60° PARA OS TRES ÂNGULOS, SE TODO ÂNGULO MENOR QUE 90° É AGUDO, 60° É MEDIDA DE ÂNGULO AGUDO.
e) (F) Basta olhar a questão 3 da página anterior.

OBSERVAÇÃO = Ao explicar essa questão eu acabei respondendo-a, por esse motivo estou acrescentando uma atividade à ela. VOCÊ DEVE MOSTRAR POR MEIO DE DESENHOS A CONTRAPROVA DOS TRES ITENS CONSIDERADOS FALSOS. Para se fazer a Contraprova basta mostrar um exemplo que contrarie a afirmação, o difícil é se fazer a prova, isso vocês verão nas séries posteriores, em especial no Ensino Superior.

Exercício 2

a) O segredo aqui é lembrar que perímetro é a soma de todos os lados ------------- 20
b) Sabendo que os lados do triângulo medem (50, 50 e 20) cm, desenhe, trace a altura relativa ao menor lado (lembrando que altura de um triângulo, relativa a um de seus lados é o segmento de reta que liga o vértice oposto àquele lado e se lança sobre ele de modo perpendicular, em outras palavras: é o segmento que liga o lado em questão ao vértice do ângulo oposto a ele, formando 90° entre o referido segmento e o referido lado). Traçada a altura e aplicando Pitágoras é possível encontrar ----- h = 20 √6 cm.

EXERCÍCIO 3 –

Seria importante fazer isso na prática, cortar as varetas e tentar formar triângulos com elas. Você verá que somente com as varetas (3,4,5) e (4,5, é possível formar triângulos. A questão visa aprendizagem das chamadas CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO. PORTANTO:

VOCÊ DEVE LER NA PÁGINA 40 AS DUAS CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO (NOS DOIS PONTINHOS PRETOS), E APONTAR A CAUSA PELA QUAL AS OUTRAS TERNAS NÃO FÓRMAM TRINÂNGULOS. EXERCÍCIO 4 –

Segue o mesmo raciocínio de Condição de Existência de Um Triângulo. Ou seja dentre os números inteiros quais os que se encaixam nas exigências escritas nos dois pontinhos da página 40?

EXERCÍCIO 5

Sempre que se deseja escrever algebricamente um número Par se escreve 2X, isto porque independente do valor de X o resultado desta multiplicação será sempre um número PAR. De modo similar escreve-se um número ímpar do seguinte modo: (2X +1) ou (2x – 1) , pois seja qual for o valor de X o resultado destas expressões são sempre números ímpares. Logo para o caso em questão que precisamos de dois números impares consecutivos, escrevemos as duas formas anteriormente citadas (2X +1) e (2x – 1), estes são os dois números ímpares consecutivos que devem formar uma terna triangular com o número dez. Com essas informações releia o problema releia os dois pontinhos da página aí mesmo na página 40 acima e boa sorte.
P.S. Determinar as medidas do triângulo, não é determinar a área e sim determinar as medidas de cada um dos seus lados -------------- 5 , 7 e 10.

Página 42 – Para Resolver


EXERCÍCIO 2 –

Seguido o velho provérbio, “Não entendeu desenha”, o melhor mesmo é desenhar. Esboçar pelo menos. Feito o esboço atribua os valores informados a dois dos ângulos e proceda como instruído no enunciado da questão, construindo as Bissetrizes. (Bissetriz, lembre-se BI = 2, seta que divide o ângulo em 2 outros iguais) Feito o procedimento instruído acima você verá que seu triângulo original ficará dividido em 4 outros triângulos de modo que se você tomar um deles (aquele) do qual você conhece dois ângulos, obviamente de 30° e 27° por serem formados pelas bissetrizes, é só aplicar a soma dos ângulos.------------ X =123°

Exercício 3

BARICENTRO é o encontro das MEDIANAS (Segmento que vai do ponto médio de um segmento ao vértice oposto a este.)
Saiba também que o baricentro de um triângulo divide as medianas na razão de 2/1. desenhe o triângulo, trace as medianas e escreva as relações conforme a razão 2/1.
P.S. Nunca se assuste com o tamanho de “seus” inimigos, teste a sua força. Não desista antes de começar .... desenhe como eu te orientei acima, confie em você e conte comigo, qualquer dúvida é só mandar a pergunta.



Página 47 – Para Resolver

1 – É só aplicara as fórmulas do comprimento e da área

a) 16 Pi
b) 64 Pi

2 - É só aplicara as fórmulas do comprimento e da área.

a) 18,84 cm
b) Vc. Pode calcular a área total do círculo e depois por regra de três calcular a área do setor. --------------------------- 4, 71 cm²

3 – Calcule primeiro a área do circulo com o raio de 10 Cm. Em seguida calcule o aumento de 20% , some aos 10cm e calcule a área do novo círculo, por fim faça a diferença entre as duas áreas e calcule o percentual da diferença em relação a área inicial. O mesmo deve ser feito com relação ao comprimento ------------------ Resposta: O comprimento aumentará 20% e a área 44%.


4 – Na verdade o que se quer é a área do segmento circular, que pode ser calculada da seguinte forma: As = Asetor – Atriângulo
Área do setor circular pode ser calculada por meio de uma regra de três comparando a área total com a área do setor. Exemplo: seja calcular a área do setor circular de 30°, de um circulo de raio = 5m, podemos armar uma proporção assim: Pi . r² / 360° = As/30° 0 que devidamente substituído fica Pi . 5² = X / 30° ----------------- 8Pi / 3 cm²
Na seqüência vc. Deve calcular a área do triângulo. Veja que dois dos lados do triângulo são congruentes (valem 4cm uma vez que ambos são o raio da circunferência). Vamos pensar um pouco: Se um triângulo tem lados iguais, então o que podemos falar de seus ângulos gerado pelo encontro de desses lados com o terceiro lado do triângulo? Lados iguais, ângulos ....? respondendo a esta questão vc. Tem como saber quais são os três ângulos deste triângulo, uma vez que um deles já era conhecido e a soma do trio é 180°.
Conhecidos os três lados sabemos que estamos diante de um triângulo -----------(?) daí é só lembrar que a área/ Superfície de um triângulo, dado dois de seus lados pode ser dada por S= ½.a. b. sen . do ângulo formado por a e b Resultado ------------ 4√3 cm²

Não esqueça que Aseg. = Asetor – Atr.
Boa Sorte.

5 – Resolvido em sala

6 – Resolvido em sala

7 – basta calcular a diferença entre a área do círculo e a área do triângulo. A área do triângulo pode ser calculada como instruído na questão 4, ------ 9√3/4 cm² e a área do círculo também é fácil já que o raio foi dado. -------3Pi cm²

8 – Basta calcular as duas áreas e a diferença entre elas

a) – Pi (R² - r²)
b) 16 Pi Cm


9 –

a) – S1 = 8 Pi cm² S2 = 4 Pi cm² S3 = 12 Pi cm²


Página 51

Página 51

1 )
a) Usando a segunda propriedade complementar enunciada na página 50, é possível escrever que 3x-7 = 3x=5, resolvendo chegamos à X = 12

b)Y = 2 + 3

2)

a) Propriedade 1, página 48 ------------------ 12,5° ou seja 12° 30’
b) Propriedade 2, página 49 ------------------ 30°

3) Resolvido em sala

4) Resolvido em sala

5 ) - Visualize primeiramente o Ângulo dentro da circunferência (desenhe de preferência ) Lembre-se o triângulo inscrito tem seus três vértices pertencentes à circunferência.


Depois aplique a lei dos senos ver quadro azul página 50 fica:

BC/ sen45° = 10 é só resolver.

6) Primeiro vamos calcular a hipotenusa, para em seguida aplicarmos as propriedades cabíveis. Por Pitágoras concluímos que hip= 13

Agora, na figura da sua apostila trace um raio na circunferência voltado para baixo, cateto maior e outro voltado para a esquerda cateto menor. Aplique a segunda propriedade complementar, página 50 e tome como exemplo o exercício 4 desta página 51. Você deve chegar a seguinte equação 5 – R + 12 – R = 13. Caso vc. Não consiga chegar à esta equação me mande uma mensagem informando que eu a faço em sala, mesmo assim resolva a equação que esta aí, e conclua o exercício ----- R = 2 cm e A = 4 Pi cm²

7 ) Dispensado.

Vestibulares Página 52 Dicas.

1) Utilize as fórmulas já conhecidas do comprimento da circunferência e da área. Considere que há duas situações, uma antes de aumentar e a outra depois. Algumas perguntas para te ajudar:
- Qual é o raio antes do aumento? (quando a gente desconhece.....?)
- Qual é o raio depois do aumento ?
respondendo a estas perguntas, é só aplicar os dois raios na fórmula do comprimento, claro primeiro um depois o outro e fazer a diferença entre os comprimentos.
----------------------------------- C2 – C1 = 2. Pi. M
Repita o mesmo raciocínio para a área ------------A2 – A1 = (2 R + 1 ) Pi . m²



2) Por semelhança de triângulos, regrinha de 3 ------ 120
3) Fazendo o prolongamento dos dois segmentos laterais se forma um triângulo, que na parte de baixo tem 4 repartições de tamanho X , portanto 4X e que acima do ultimo degrau tem um valor desconhecido Y. semelhante ao que fazemos em física para obter a equação de transformação de °C em °F, comparando parte menor com parte maior, Teorema de Tales, faremos aqui.

y/ y +4x = 30/60 com isso encontramos o valor de y que por coincidência é y = 4x, ou seja o degrau de 30 cm está bem no meio do triângulo imaginário. Quando nós atribuímos o valor X aos degraus estávamos falando da sua altura e não do seu comprimento. A altura é x para todos pois todos têm a mesma altura. O que o problema pede no entanto é a soma dos comprimentos destes degraus afim de que possamos determinar o comprimento da tábua necessária para se fazer todos eles. Logo como os comprimentos são diferentes não podemos atribuir a mesma incógnita para representá-los, daí podemos atribuir a, b e c aos degraus desconhecidos do menor para o maior, ou seja de cima para baixo.
Como já sabemos que y=4x e como para encontrar y, havíamos escrito y/ y +4x = 30/60
Para calcular “a” (comprimento do degrau “a”) reescrevemos esta equação, com as devidas substituições fica 4x /4x –x = 30 /a ------- a = 37,5 . Atenção: o -X após 4x na equação anterior refere-se ao fato de que “a” está apenas um degrau abaixo do ultimo que mede 30cm com o qual estamos comparando. Nesta linha de raciocínio para o cálculo de “b” teremos 2X em vez de X......................b = 45 cm e c = 52,5 cm logo o comprimento mínimo da peça é a soma de tudo isso.